1. Soient les éléments ordonnés de

    Il y a autant d'applications strictement croissantes de dans que de suites d'éléments de

    Or toute partie à éléments de peut être ordonnée d'une seule façon. Il y a donc applications strictement croissantes.

  2. Si l'application, qui à associe est strictement décroissante.

    Il y a donc aussi applications strictement croissantes de dans

  3. Il n'y a pas d'application strictement croissante de dans puisqu'on ne peut trouver de suite ordonnée de éléments dans

  4. A chaque application strictement croissante de dans on peut associer injections et faisant une permutation sur les images de

  5. Il n'y a pas d'application injective de dans puisque