On a montré que pour tout sous-ensemble de on a :

On veut montrer l'équivalence :

  1. Pour toute partie

  2. est injective.

Montrons d'abord

On part de ce qu'on veut montrer : que est injective. On se donne donc deux éléments et tels que

Posons D'après l'hypothèse,

Si nous obtenons une contradiction. Donc

Si deux éléments ont la même image par ils sont égaux. est injective.

Montrons

Soit et Cela signifie Donc a un antécédent dans

Mais est injective donc et est élément de

Donc Ce qu'il fallait démontrer.