Exercice n°3

Partie

Question

Soit \(f\) une application d'un ensemble \(A\) non vide dans un ensemble \(B.\) Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

  1. \(f\) est surjective.

  2. Pour tout ensemble \(D\) et tout couple \((u, v)\) d'applications de \(B\) dans \(D,\)

    \(u\circ f = v\circ f\Rightarrow u = v.\)

Solution détaillée

  • Montrons \(1.\Rightarrow 2.\)

    On prend un ensemble \(D\) et deux applications \(u\) et \(v\) de \(B\) dans \(D\) telles que \(u\circ f = v\circ f.\)

    On veut montrer qu'alors \(u = v.\)

    Soit donc un élément \(b\) quelconque de \(B.\) On veut montrer que \(u (b) = v (b).\)

    Comme \(f\) est surjective, \(b\) a un antécédent \(a\) dans \(A~~ b = f (a).\)

    \(u (b) = u [f (a)]\) et \(v (b) = v [f (a)]\)

    Comme \(u\circ f = v\circ f,\) on sait que \(u [f (a)] = v [f (a)]\) donc \(u (b) = v (b).\) Ce qu'il fallait démontrer.

  • On suppose que la deuxième propriété est vraie et on veut montrer que \(f\) est surjective c'est-à-dire que \(f (A) = B.\)

    Supposons \(f (A)\neq B.\) Soit \(y\) un élément de \(B\) qui n'est pas dans \(f (A).\)

    Soient \(D = \{1 , 2\}\) \(u\) l'application de \(B\) dans \(D\) telle que tout élément de \(B\) ait pour image \(1\) et \(v\) l'application de \(B\) dans \(D\) définie par \(v (y) = 2\) et \(v (b) = 1\) si \(y\neq y.\)

    Alors \(u\circ f = v\circ f\) puisque tout élément de \(A\) a pour image \(1.\) On en conclut \(u = v\) ce qui est contraire à la définition de \(u\) et \(v.\)

    On ne peut donc trouver un élément \(y\) de \(B\) qui n'est pas dans \(f (A).\)

    \(f\) est surjective.