Présentation et construction de l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps

La notion de polynôme est familière, mais on s'est contenté pendant fort longtemps de décrire des règles de calcul sur les fonctions du type \(x\mapsto a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n\). Puis on s'est rendu compte que bien des propriétés de ces fonctions polynômes étaient en réalité formelles, c'est-à-dire ne dépendaient que des propriétés des coefficients, ce qui a conduit à l'élaboration de la théorie des polynômes formels.

L'étude des polynômes est d'un grand intérêt non seulement d'un point de vue théorique (elle a été avec celle de la résolution des équations algébriques à la base de la théorie des corps et des nombres algébriques) mais aussi en mathématiques appliquées. Par exemple dans un problème de nature "physique" dont le modèle mathématique est justiciable des techniques d'analyse numérique, il intervient souvent des fonctions compliquées. Un procédé fréquemment utilisé consiste à remplacer une fonction donnée par une fonction polynôme "proche" (en un sens que l'on ne précisera pas ici), par exemple un polynôme d'interpolation. Cette tendance s'est amplifiée avec le développement récent des moyens de calcul, qui traitent les fonctions polynomiales beaucoup plus rapidement que les autres.

Cette ressource commence par une " présentation " de l'ensemble des polynômes et de leurs règles de manipulation. Nous terminerons par la construction formelle d'un tel ensemble avec une justification à posteriori de toutes ces règles. Mais il est aussi possible, si on le souhaite, de commencer par la deuxième partie.