Définition d'un idéal dans un anneau commutatif

DéfinitionIdéal dans un anneau commutatif

Soit \(A\) un anneau commutatif. On dit qu'une partie \(I\) de \(A\) est un idéal de \(A\) si \(I\) vérifie les propriétés suivantes :

  1. \(I\) est non vide

  2. \(I\) est stable pour la soustraction, c'est-à-dire \(\forall (x,y)\in I\times I, x-y\in I\)

  3. Pour tout élément a de A et tout élément x de I, le produit ax appartient à I, autrement dit :

    \(\forall a\in A\), \(\forall x\in I\), \(ax\in I\)

Remarque

les propriétés 1. et 2. signifient que \(I\) est un sous-groupe additif de \(A\). Si besoin est, on peut répartir les difficultés, puisque l'ensemble des propriétés 1. et 2. équivaut à l'ensemble des propriétés :

\(I\neq \varnothing\)

\(\forall(x,y)\in I\times I\), \(x+y\in I\)

\(\forall x\in I\), \(-x\in I\)