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Polynômes premiers entre eux
Le test comporte 2 questions :
Identité de Bezout
Puissances de polynômes premiers entre eux
La durée indicative du test est de 35 minutes.
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Identité de Bezout
  1. Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes que doivent vérifier deux polynômes et pour qu'il existe un polynôme tel que soit divisible par et soit divisible par ?

  2. Ces conditions sont-elles satisfaites dans les deux cas suivants :

    a. , ?

    b. , ?

    Si les conditions sont satisfaites, déterminer un tel polynôme .

Puissances de polynômes premiers entre eux
  1. Soient , et trois polynômes vérifiant les deux conditions et premiers entre eux et et premiers entre eux.

    Montrer alors que les polynômes et sont premiers entre eux.

  2. Soient et deux polynômes premiers entre eux. Montrer que quels que soient les entiers strictement positifs et , les polynômes et sont premiers entre eux.

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Identité de Bezout
  1. (4 points) S'il existe un polynôme tel que soit divisible par et soit divisible par , alors il existe deux polynômes et tels que et , c'est-à-dire tels que , donc tels que .

    On reconnaît l'identité de Bézout.

    Donc s'il existe un polynôme tel que soit divisible par et soit divisible par , alors les polynômes et sont premiers entre eux :

    la condition " et premiers entre eux " est donc une condition nécessaire pour qu'un tel polynôme existe.

    Réciproquement si les polynômes et sont premiers entre eux, il existe deux polynômes et

    tels que .

    En prenant , on remarque que , alors le polynôme vérifie les conditions " divisible par et divisible par " :

    la condition " et premiers entre eux " est donc une condition suffisante pour qu'un tel polynôme existe.

    Remarque : outre la condition nécessaire et suffisante demandée, on a obtenu un procédé effectif pour trouver un tel polynôme quand il existe.

  2. a. (3 points) Soient et .

    On recherche donc le PGCD des polynômes et par l'algorithme d'Euclide :

    les divisions euclidiennes successives donnent :

    puis

    Le polynôme est le dernier reste non nul dans les divisions considérées, on en conclut que le polynôme est le PGCD des polynômes et .

    Donc les polynômes et n'étant pas premiers entre eux, il n'existe pas de polynôme divisible par le polynôme tel que le polynôme soit divisible par le polynôme .

    b. (3 points) Soient et

    On cherche donc le PGCD des polynômes et .

    Or

    et .

    Comme le dernier reste non nul est une constante, les polynômes et sont premiers entre eux.

    Donc il existe un polynôme divisible par le polynôme

    et tel que le polynôme soit divisible par le polynôme .

    (5 points) On a vu dans la question 1 que lorsque et sont premiers entre eux, on peut choisir et sont tels que .

    On a donc et .

    On calcule le polynôme à partir des restes des divisions euclidiennes intervenant dans la recherche précédente du PGCD de et .

    On a trouvé :

    .

    Donc

    et

    Avec les notations et cela donne :

    et donc .

    En regroupant les termes en et , on trouve :

    .

    On divise tout par :

    Il est inutile de faire tous les calculs puisque seul nous intéresse un polynôme de la forme est tel que .

    D'où :

    Tous calculs faits, on trouve :

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Puissances de polynômes premiers entre eux
  1. (4points)

    D'après l'identité de Bézout, deux polynômes et sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes et tels que .

    On cherche une telle relation entre et .

    Comme A et B sont premiers entre eux, il existe deux polynômes et tels que ;

    de même comme et sont premiers entre eux, il existe deux polynômes et tels que .

    En multipliant membre à membre les deux égalités précédentes on obtient : , c'est-à-dire : .

    Donc et sont premiers entre eux.

  2. (6 points) On montre par récurrence que si et B sont deux polynômes premiers entre eux, alors quel que soit l'entier strictement positif , les polynômes et sont premiers entre eux :

    Soit la propriété : les polynômes et sont premiers entre eux.

    est vraie puisque et sont premiers entre eux par hypothèse.

    On montre que :

    Puisque et sont premiers entre eux et puisque et sont premiers entre eux, d'après la question 1., et sont premiers entre eux.

    Donc quel que soit l'entier strictement positif n, les polynômes et sont premiers entre eux.

    Soit , les polynômes et sont premiers entre eux, donc d'après ce qui précède, pour tout entier strictement positif , les polynômes et sont premiers entre eux.

    On a bien montré que quels que soient les entiers strictement positifs et , les polynômes et sont premiers entre eux.

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Bilan
Nombre de questions :2
Score obtenu :/25
Seuil critique :17
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :35 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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