1. En effectuant la division euclidienne de par on obtient :

  1. Le dernier reste calculé est soit nul soit de degré au plus 2 donc strictement inférieur au degré de , alors on arrête là.

    L'identité de la division euclidienne s'écrit

    avec et .

    La divisibilité de par est équivalente à donc à la nullité des trois coefficients de . Cela conduit au système :

    système qui a une unique solution , , .

    Conclusion : il existe des réels tels que le polynôme soit divisible par , dans ce cas .

  2. On recherche un polynôme tel que .

    et étant unitaires, de degrés respectifs 5 et 3, il est naturel de chercher unitaire de degré 2 donc de la forme . Alors :

    Donc est divisible par si et seulement le système suivant a des solutions :

    Ce dernier système n'a de solutions que si , , .

    D'où l'existence et l'unicité des réels cherchés , , .

    On retrouve ainsi .