Jouer avec les degrés

Partie

Question

Montrer que si trois polynômes \(P\), \(Q\) et \(S\), à coefficients réels, vérifient l'égalité :

\((P(X))^2-X(Q(X))^2=X(S(X))^2\)

alors \(P=Q=S=0\).

Peut-on remplacer le corps des réels par le corps des complexes ?

Aide simple

Si \(A\) et \(B\) sont des polynômes non nuls alors \(deg(AB)=deg(A)+deg(B)\), si de plus \(A+B\neq 0\), \(deg(A+B)\leq max(deg(A),deg(B))\) avec égalité quand \(deg(A)\neq deg(B)\).

Partir de l'égalité \((P(X))^2=X[(Q(X))^2+(S(X))^2]\) et supposer \(P\neq 0\).

Aide méthodologique

Il n'est pas raisonnable de rechercher des expressions explicites des polynômes en essayant de trouver des propriétés des coefficients.

Par contre on peut essayer une démonstration par l'absurde.

Aide à la lecture

Les coefficients des trois polynômes considérés sont des nombres réels.

Chaque polynôme intervient par son carré mais ils n'ont pas des rôles symétriques car \(Q_2\) et \(S^2\) sont multipliés par \(X\).

Solution détaillée

L'égalité de l'énoncé est équivalente à l'égalité suivante : (1) \((P(X))^2=X[(Q(X))^2+(S(X))^2^]]\).

On raisonne par l'absurde et par étapes :

  • Première étape

    Supposons le polynôme \(P\) non nul alors \(\exists m\in N\), \(\exists a_0,a_1,\ldots,a_m\in R,a_m\neq 0\); \(P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_mX^m\)

    donc le degré de \(P\) est \(m\) alors le degré de \(P^2\) est \(2m\) et le coefficient de son terme de plus haut degré est \(a^2_m\).

    Le polynôme \(p^2\) est non nul et \(Q^2+S^2\) aussi, ce qui implique qu'au moins un des polynômes \(Q\) ou \(S\) est non nul.

    Supposons de plus \(Q\neq 0\) et \(S\neq 0\) alors

    \(\exists n\in N\), \(\exists b_0,b_1,\ldots,b_n \in R\), \(b_n\neq 0\); \(Q(X)=b_0+b_1X+\ldots+b_nX^n\)

    \(\exists r\in N\), \(\exists c_0,c_1,\ldots,c_r\in R\), \(c_r\neq 0\); \(S(X)=c_0+c_1X+\ldots+c_rX^r\)

    Alors \(deg(Q^2)=2n\), \(deg(S^2)=2r\).

    Notons \(\alpha\) le coefficient du terme de plus haut degré de \(Q^2+S^2\).

    Trois cas peuvent se présenter :

    1. \(n\leq r\) alors le degré de \(Q^2+S^2\) est \(2r\) et \(\alpha=c^2_r\)

    2. \(n>r\) alors le degré de \(Q^2+S^2\) est \(2n\) et \(\alpha=b^2_n\)

    3. \(n=r\) alors le degré de \(Q^2+S^2\) est \(2n\) car \(deg(Q^2)=deg(S^2)\) et \(b^2_n+c^2_n\neq 0\) (somme de deux réels strictement positifs) donc \(\alpha=b^2_n+c^2_n\).

    Dans tous les cas le degré de \(Q^2+S^2\) est un entier pair, ce qui entraîne

    que le degré de \(X[(Q(X))^2+(S(X))^2^]\) est un entier impair.

    L'égalité (1) exprimerait qu'un polynôme de degré pair est égal à un polynôme de degré impair ce qui est absurde.

    Supposons \(Q\neq 0\) et \(S=0\), on aboutit à la même absurdité car \(deg(P^2)=2m\) et \(deg(XQ^2)=2n+1\).

    Résultat analogue si \(Q=0\) et \(S\neq 0\).

    On vient de montrer que l'hypothèse \(P\) non nul amène à une absurdité donc \(P\) est nul.

  • Deuxième étape

    \(P(X)=0 \Rightarrow X[(Q(X))^2+(S(X))^2]=0\Rightarrow (Q(X))^2+(S(X))^2=0\)

    Au cours de la première étape on a démontré que si au moins un des polynômes \(Q\) ou \(S\) est non nul alors \(Q^2+S^2\) est non nul en étudiant le coefficient du terme de plus haut degré.

    Donc \(Q\) et \(S\) sont nuls.

    Conclusion : \(P=Q=S=0\).

    Le fait que les coefficients soient réels est essentiel pour affirmer \((b\neq 0, c\neq 0)\Rightarrow b^2+c^2\neq 0\).

    Dans \(C[X](P(X))^2-X(Q(X))^2=X(S(X))^2\) avec \(P(X)=0\), \(Q(X)=i\), \(S(X)=1\).

    Donc on ne peut pas remplacer le corps des réels par le corps des complexes.