Soit un autre couple tel que .

Cela entraîne : d'où .

Comme et sont premiers entre eux, on déduit du théorème de Gauss que

divise , donc il existe un polynôme tel que .

On obtient alors : donc (puisque est non nul).

Donc tout couple tel que vérifie la condition suivante :

Il existe un polynôme tel que et .

C'est la condition nécessaire cherchée.

On montre que cette condition est suffisante. En effet :

quel que soit le polynôme de , les polynômes et vérifient les égalités :

Les polynômes et vérifient l'égalité .

Conclusion : les polynômes et qui vérifient l'égalité sont les polynômes

et , où est un polynôme quelconque de .

Donc ici, les couples de polynômes qui vérifient l'égalité

sont tous les couples

est un polynôme quelconque de .