1ère étape : Recherche d'une condition nécessaire

Supposons donc que divise , soit un polynôme unitaire irréductible de ,

notons , alors , ne divisant ni ni .

Le polynôme divise qui divise , d'où divise , donc divise . En appliquant le théorème : Lien entre la décomposition en éléments irréductibles et les notions de PGCD et PPCM, on obtient .

Ainsi est premier avec et divise le produit , en appliquant le théorème de Gauss on en déduit que divise , d'où .

Conclusion : Pour que divise , il faut que

polynôme unitaire irréductible de , .

2ième étape : Démonstration que la condition trouvée est suffisante

Supposons la condition précédente satisfaite.

Utilisons les décompositions de et en facteurs irréductibles , polynôme unitaire irréductible de , diviseur de ou de , entiers positifs ou nuls.

D'après l'hypothèse donc et ,

alors .

D'où divise .