| Questionnaire de Compréhension Immédiate (2/2) |
Un q.c.i. (questionnaire de compréhension immédiate) est une série de questions réparties au sein de une ou plusieurs pages, et auxquelles vous devriez être en mesure de répondre quasi-instantanément, si votre lecture du cours a été attentive, et si vous avez bien assimilé les notions abordées.
On considère le polynôme à coefficients réels
.
Cocher les réels qui sont racines de
.
Feedback
Vous avez donné les bonnes réponses !
En effet
donc
Vous avez donné une ou plusieurs mauvaises réponses !
Il fallait répondre :
et
En effet
-
donc
-
-
-
-
On considère le polynôme à coefficients réels
.
Parmi les expressions suivantes se trouve la décomposition de
en produit de facteurs irréductibles. Laquelle est-ce ?
Feedback
Vous avez donné la bonne réponse !
Les réels
et 2 sont bien racines de
et c'est la seule réponse possible.
Remarque : Le fait que les réels
et
sont racines du polynôme
ne suffit pas pour en déduire
que
est la décomposition de
en produit de facteurs irréductibles, mais ici le texte précise que cette décomposition se trouve parmi les réponses proposées.
Vous avez donné une mauvaise réponse !
Le réel 1 n'étant pas racine de
,
n'est pas divisible par
.
Le réel
n'étant pas racine de
,
n'est pas divisible par
.
Les réels
et 2 sont bien racines de
mais le produit proposé est de degré 3 et ne peut pas convenir puisque
est de degré 4.
Il fallait répondre :
Les réels
et
sont bien racines de
et c'est la seule réponse possible.
Remarque : Le fait que les réels
et
sont racines du polynôme
ne suffit pas pour en déduire
que
est la décomposition de
en produit de facteurs irréductibles, mais ici le texte précise que cette décomposition se trouve parmi les réponses proposées.
On considère le polynôme à coefficients réels
.
Quel est l'ordre de multiplicité de la racine
?
Feedback
Vous avez donné la bonne réponse !
En effet
, donc
avec
.
Vous avez donné une mauvaise réponse !
Il fallait répondre : 3
En effet
, donc
avec
.
Soit
un corps.
Un polynôme de
de degré 1 a-t-il une racine dans
?
Feedback
Vous avez donné la bonne réponse !
Un polynôme
de degré 1 s'écrit
, où
et
sont des éléments de
. L'élément
n'est pas nul puisque
est de degré 1, donc
admet un inverse dans
, noté
.
Alors
, donc
admet
comme racine.
Vous avez donné une mauvaise réponse !
Il fallait répondre : Oui
Un polynôme
de degré 1 s'écrit
, où
et
sont des éléments de
. L'élément
n'est pas nul puisque
est de degré 1, donc
admet un inverse dans
, noté
.
Alors
, donc
admet
comme racine.
Soit
un corps.
Soit
un polynôme de
de degré 2.
Pour que
soit irréductible sur
, la condition "
n'a pas de racine dans
" est une condition...
Feedback
Vous avez donné la bonne réponse !
En effet la condition "
n'a pas de racine dans
" est une condition nécessaire pour que
soit irréductible sur
:
si
a une racine
, alors d'après le Théorème-définition d'une racine, il est divisible par le polynôme
. Donc on a
. Comme
est de degré 2, d'après la règle du degré d'un produit, le polynôme
est de degré 1 ;
est donc le produit de deux polynômes de degrés non nuls :
n'est pas irréductible sur
.
La condition "
n'a pas de racine dans
" est aussi une condition suffisante pour que
soit irréductible sur
:
si
n'est pas irréductible sur
, il se décompose en produit de facteurs irréductibles sur
. Comme il est de degré 2, il se décompose comme produit de deux polynômes de degré 1 :
avec
et
des polynômes de degré 1.
D'après la question 1.,
admet une racine notée
. Comme
,
admet
comme racine dans
.
Vous avez donné une mauvaise réponse !
Il fallait répondre : nécessaire et suffisante
En effet la condition "
n'a pas de racine dans
" est une condition nécessaire pour que
soit irréductible sur
:
si
a une racine
, alors d'après le Théorème-définition d'une racine, il est divisible par le polynôme
. Donc on a
. Comme
est de degré 2, d'après la règle du degré d'un produit, le polynôme
est de degré 1 ;
est donc le produit de deux polynômes de degrés non nuls :
n'est pas irréductible sur
.
La condition "
n'a pas de racine dans
" est aussi une condition suffisante pour que
soit irréductible sur
:
si
n'est pas irréductible sur
, il se décompose en produit de facteurs irréductibles sur
. Comme il est de degré 2, il se décompose comme produit de deux polynômes de degré 1 :
avec
et
des polynômes de degré 1.
D'après la question 1.,
admet une racine notée
. Comme
,
admet
comme racine dans
.
Soit
un corps.
Soit
un polynôme de
de degré 3.
Pour que
soit irréductible sur
, la condition "
n'a pas de racine dans
" est une condition...
Feedback
Vous avez donné la bonne réponse !
En effet la condition "
n'a pas de racine dans
" est une condition nécessaire pour que
soit irréductible sur
:
si
a une racine
, alors d'après le Théorème-définition d'une racine, il est divisible par le polynôme
. Donc on a
. Comme
est de degré 3, d'après la règle du degré d'un produit, le polynôme
est de degré 2,
est donc le produit de deux polynômes de degrés non nuls :
n'est pas irréductible sur
.
La condition "
n'a pas de racine dans
" est aussi une condition suffisante pour que
soit irréductible sur
:
si
n'est pas irréductible sur
, il se décompose en produit de facteurs irréductibles sur
. Comme il est de degré 3, il se décompose soit comme produit d'un polynôme de degré 1 et d'un polynôme de degré 2, soit comme produit de trois polynômes de degré 1. Dans les deux cas il s'écrit
avec
un polynôme de degré 1.
D'après la question 1.,
admet une racine notée
. Comme
,
admet
comme racine dans
.
Vous avez donné une mauvaise réponse !
Il fallait répondre : nécessaire et suffisante
En effet la condition "
n'a pas de racine dans
" est une condition nécessaire pour que
soit irréductible sur
:
si
a une racine
, alors d'après le Théorème-définition d'une racine, il est divisible par le polynôme
. Donc on a
. Comme
est de degré 3, d'après la règle du degré d'un produit, le polynôme
est de degré 2,
est donc le produit de deux polynômes de degrés non nuls :
n'est pas irréductible sur
.
La condition "
n'a pas de racine dans
" est aussi une condition suffisante pour que
soit irréductible sur
:
si
n'est pas irréductible sur
, il se décompose en produit de facteurs irréductibles sur
. Comme il est de degré 3, il se décompose soit comme produit d'un polynôme de degré 1 et d'un polynôme de degré 2, soit comme produit de trois polynômes de degré 1. Dans les deux cas il s'écrit
avec
un polynôme de degré 1.
D'après la question 1.,
admet une racine notée
. Comme
,
admet a comme racine dans
.
Soit
un corps.
Soit
un polynôme de
de degré 4.
Pour que
soit irréductible sur
, la condition "
n'a pas de racine dans
" est une condition...
Feedback
Vous avez donné la bonne réponse !
En effet la condition "
n'a pas de racine dans
" est une condition nécessaire pour que
soit irréductible sur
:
si
a une racine
, alors par le Théorème-définition d'une racine, il est divisible par le
polynôme
. Donc on a
. Comme
est de degré 4, d'après la règle du degré d'un produit, le polynôme
est de degré 3,
est donc le produit de deux polynômes de degrés non nuls :
n'est pas irréductible sur
.
Mais cette condition n'est pas suffisante,en effet on peut donner le contre exemple suivant :
dans
, le polynôme
s'écrit
et pourtant il n'a pas de racine dans
.
Vous avez donné une mauvaise réponse !
Il fallait répondre : nécessaire seulement
En effet la condition "
n'a pas de racine dans
" est une condition nécessaire pour que
soit irréductible sur
:
si
a une racine
, alors par le Théorème-définition d'une racine, il est divisible par le
polynôme
. Donc on a
. Comme
est de degré 4, d'après la règle du degré d'un produit, le polynôme
est de degré 3,
est donc le produit de deux polynômes de degrés non nuls :
n'est pas irréductible sur
.
Mais cette condition n'est pas suffisante,en effet on peut donner le contre exemple suivant :
dans
, le polynôme
s'écrit
et pourtant il n'a pas de racine dans
.
Soit
un entier naturel et soient
et
des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à
.
Soit
un entier strictement supérieur à
.
On suppose qu'il existe
réels distincts
tels que
pour tout
compris entre 1 et
.
Alors les polynômes
et
sont égaux.
Feedback
Vous avez donné la bonne réponse !
En effet
sont
racines distinctes du polynôme
.
Or les deux polynômes
et
sont de degré inférieur ou égal à
.
Si leur différence
n'était pas le polynôme nul, il aurait lui aussi un degré inférieur ou égal à
.
Comme tout polynôme non nul de degré
a au plus
racines, il y aurait contradiction entre
non nul de degré inférieur ou égal à
et
a
racines, avec
strictement plus grand que le degré de
.
Vous avez donné une mauvaise réponse !
Il fallait répondre : Vrai
En effet
sont
racines distinctes du polynôme
.
Or les deux polynômes
et
sont de degré inférieur ou égal à
.
Si leur différence
n'était pas le polynôme nul, il aurait lui aussi un degré inférieur ou égal à
.
Comme tout polynôme non nul de degré
a au plus
racines, il y aurait contradiction entre
non nul de degré inférieur ou égal à
et a
racines, avec
strictement plus grand que le degré de
.
