On cherche à déterminer la ou les racines réelles de . On note une telle racine. On considère la fonction polynôme associée à dans .

On a .

Un nombre complexe étant nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles, on obtient le système :

On remarque que a est racine des deux polynômes à coefficients réels

et .

Donc le polynôme divise les polynômes et donc aussi leur PGCD.

On détermine donc ce PGCD par l'algorithme d'Euclide, en faisant des divisions successives. On obtient :

Donc . Donc est racine de .

Donc il existe un polynôme tel que .

Pour trouver , on peut diviser par .

On peut aussi utiliser le fait que .

En divisant et par , on trouve :

et

donc .

On cherche ensuite les racines dans du polynôme

Donc les deux autres racines de sont

Donc

et cette décomposition est bien un produit de facteurs irréductibles puisque les polynômes du produit sont des polynômes unitaires distincts de degré 1.