La propriété : possède deux racines doubles dans équivaut à :

qui équivaut à :

est le carré d'un polynôme de , de degré 2 ayant 2 racines distinctes.

Ainsi , ,

Or .

Donc , , .

A partir de (1), (4) et (5) on obtient .

Les relations (2) et (3) impliquent .

Alors ,

.

Conclusion : Il existe des réels uniques , tels que possède deux racines doubles dans . Dans ce cas, les racines doubles de sont et .

Remarques :

Si on oublie la condition , on trouve aussi ce qui entraîne

  1. . Mais alors qui ne possède pas de racine double.

  2. L'utilisation de la dérivation ne présente aucun intérêt dans ce cas, en effet le polynôme dérivé est un polynôme de degré 3, dont les racines ne sont pas apparentes.