Introduction : position du problème

De nombreux problèmes, dans des domaines variés et pas seulement mathématiques, nécessitent pour leur résolution de savoir calculer des puissances de matrices.

Or, on s'est rendu compte que les calculs sur les matrices, en particulier le produit, étaient plus simples lorsque la matrice comporte beaucoup de zéros : par exemple, le produit de deux matrices diagonales (respectivement triangulaires de même sens) est encore une matrice diagonale (respectivement triangulaire de même sens).

La théorie de la réduction des endomorphismes (respectivement des matrices) est basée sur cette remarque.

Il est plus naturel, pour introduire ces notions, de se placer dans le cadre de l'algèbre linéaire et des endomorphismes d'un espace vectoriel de type fini (on dit aussi espace vectoriel de dimension finie).

L'application aux matrices en découle très facilement.

La problématique générale est la suivante :

Si est un espace vectoriel de type fini, de dimension supérieure ou égale à et un endomorphisme de , il s'agit de déterminer s'il existe une base de telle que la matrice de par rapport à cette base soit "simple", plus précisément diagonale, ou, à défaut triangulaire.

Dans cette ressource, nous ne traitons que le cas "diagonale".

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