Endomorphisme ou matrice diagonalisable

\(P_{car,f_m}(X)=\textrm{det}(A_m-XI_4)=\left|\begin{array}{cccc}2m-5-X&1&1&4-m\\0&m-X&0&0\\5-m&-1&m-1-X&m-4\\2m-10&2&2&8-m-X\end{array}\right|\)

On développe ce déterminant suivant la deuxième ligne :

\(P_{car,f_m}(X)=(-1)^{2+2}(m-X)\left|\begin{array}{ccc}2m-5-X&1&4-m\\5-m&m-1-X&m-4\\2m-10&2&8-m-X\end{array}\right|\)

On ajoute la ligne 2 à la ligne 1 :

\(P_{car,f_m}(X)=(m-X)\left|\begin{array}{ccc}m-X&m-X&0\\5-m&m-1-X&m-4\\2m-10&2&8-m-X\end{array}\right|\)

\(P_{car,f_m}(X)=(m-X)^2\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\5-m&m-1-X&m-4\\2m-10&2&8-m-X\end{array}\right|\)

On ajoute à la ligne 3 deux fois la ligne 2 :

\(P_{car,f_m}(X)=(m-X)^2\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\5-m&m-1-X&m-4\\0&2(m-X)&m-X\end{array}\right|=(m-X)^3\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\5-m&m-1-X&m-4\\0&2&1\end{array}\right|\)

On enlève la colonne 1 à la colonne 2 :

\(P_{car,f_m}(X)=(m-X)^3\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\5-m&2m-6-X&m-4\\0&2&1\end{array}\right|=(m-X)^3(2m-6-X-2m+8)\)

\(P_{car,f_m}(X)=(m-X)^3(2-X)\)

[4 points]

Le polynôme caractéristique de \(f_m\) est scindé dans \(R\).

Si \(m=2\), l'endomorphisme \(f_m\) de \(R^4\) a une seule valeur propre, égale à 2.

Si \(f_2\) était diagonalisable, la matrice \(A_2\) serait semblable à la matrice \(2I_4\), il existerait alors une matrice inversible \(P\) telle que \(A_2=P(2I_4)P^{-1}\) et on aurait l'égalité \(A_2=2PI_4P^{-1}=2I_4\).

On arrive à une contradiction car \(A_2=\left(\begin{array}{cccc}-1&1&1&2\\0&2&0&0\\3&-1&1&-2\\-6&2&2&6\end{array}\right)\).

L'endomorphisme \(f_2\) n'est donc pas diagonalisable.

[2 points]

Si \(m\ne2\), l'endomorphisme \(f_m\) de \(R^4\) a deux valeurs propres : \(\lambda_1=2\) est une valeur propre simple et \(\lambda_2=m\) est une valeur propre d'ordre de multiplicité 3.

L'endomorphisme \(f_m\) est diagonalisable si et seulement si, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égal à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.

La dimension du sous-espace propre associé une valeur propre simple est égale à 1. L'endomorphisme \(f_m\) est donc diagonalisable si et seulement si la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_2=m\) est égale à 3.

Soit \(E_{\lambda_2}\) le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_2=m\).

\(E_{\lambda_2}=\textrm{Ker}(f_m-mId_{R^4})\), et la matrice associée à \(f_m-mId_{R^4}\) est

\(A_m-mI_4=\left(\begin{array}{cccc}m-5&1&1&4-m\\0&0&0&0\\5-m&-1&-1&m-4\\2(m-5)&2&2&2(4-m)\end{array}\right)\)

D'après le théorème du rang, \(\textrm{dim}\quad\textrm{Ker}(f_m-mId_{R^4})+\textrm{dim}\quad\textrm{Im}(f_m-mId_{R^4})=\textrm{dim}R^4=4\).

Or \(\textrm{dim}\quad\textrm{Im}(f_m-mId_{R^4})=\textrm{rang}(A_m-mI_4)\).

Les vecteurs colonnes de la matrice \(A_m-mI_4\) sont nuls ou colinéaires au vecteur colonne \(\left(\begin{array}{cccccc}1\\0\\-1\\2\end{array}\right)\). Le rang de la matrice \(A_m-mI_4\) est égal à 1 et la dimension de \(E_{\lambda_2}\) est égale à 3. Si \(m\ne2\), l'endomorphisme \(f_m\) est donc diagonalisable.

[4 points]

L'endomorphisme \(f_m\) est donc diagonalisable si et seulement si \(m\ne2\).