TEST : Etude de situations où des matrices ou des endomorphismes sont diagonalisables
Le test comporte 4 questions :
Matrices triangulaires diagonalisables
Des conditions suffisantes pour qu'un endomorphisme admette des vecteurs propres
Matrices inversibles et matrices diagonalisables
Matrices dont un produit est une matrice diagonalisable
La durée indicative du test est de 50 minutes.
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Matrices triangulaires diagonalisables
  1. Soit la matrice de ( ou ).

    Etudier, suivant les valeurs de , si est semblable à une matrice diagonale.

  2. Soit la matrice de ( ou ).

    Etudier, suivant les valeurs de , si est semblable à une matrice diagonale.

  3. Soit la matrice de ( ou ).

    Etudier suivant les valeurs de , si est semblable à une matrice diagonale.

Des conditions suffisantes pour qu'un endomorphisme admette des vecteurs propres

On note un -espace vectoriel de dimension finie, un endomorphisme de et l'endomorphisme identité de .

  • Si , admet-il des vecteurs propres ?

  • Si , admet-il des vecteurs propres ?

  • Si n'admet pas de vecteur propre, la dimension de peut-elle être impaire ?

Matrices inversibles et matrices diagonalisables
  1. Toute matrice inversible est-elle diagonalisable ?

  2. Toute matrice diagonalisable est-elle inversible ?

  3. Soient et deux réels et .

    • M est-elle inversible ?

    • M est-elle diagonalisable ?

Matrices dont un produit est une matrice diagonalisable
  1. Soient et .

    Montrer que est diagonalisable. La matrice est-elle diagonalisable ?

  2. Soient et deux matrices de dont l'une, au moins, est inversible.

    • Montrer que les matrices et sont semblables.

    • Montrer que si est diagonalisable, alors est diagonalisable.

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Matrices triangulaires diagonalisables

Une matrice carrée d'ordre à coefficients dans est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur et pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.

  1. La matrice étant triangulaire supérieure son polynôme caractéristique est . Il est scindé et chaque valeur propre a pour multiplicité 1 : elle est donc diagonalisable.

    Pour toutes valeurs de , la matrice est semblable à la matrice diagonale .

    [2 points]

  2. Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est . La matrice étant triangulaire supérieure le polynôme caractéristique de est .

    [1 point]

    Il est scindé sur et f admet deux valeurs propres :

    la valeur propre 1 de multiplicité 2,

    la valeur propre 3 de multiplicité 1.

    La valeur propre 3 étant de multiplicité 1, la dimension du sous-espace propre associé est 1.

    [1 point]

    Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre 1, est le noyau de l'endomorphisme . Si est la matrice unité de , la matrice de dans la base canonique de est la matrice . Or , si cette matrice est de rang 2 et la dimension de est 1, si elle est de rang 1 et la dimension de est 2.

    L'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la dimension de chaque sous-espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre associée. Par conséquent est diagonalisable si et seulement si .

    La matrice est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme est diagonalisable donc si et seulement si .

    Lorsque , est semblable à la matrice diagonale .

    [2 points]

  3. Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est C. La matrice étant triangulaire supérieure le polynôme caractéristique de est . Il est scindé et admet une seule valeur propre de multiplicité 3.

    [1 point]

    Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre 1, est le noyau de l'endomorphisme , et est diagonalisable si et seulement si la dimension de est 3. Si est la matrice unité de , la matrice de dans la base canonique de est la matrice . Comme , la dimension de est 3 si et seulement si la matrice est la matrice nulle, c'est-à-dire si seulement si .

    La matrice est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme est diagonalisable. La matrice est donc semblable à une matrice diagonale si seulement si .

    [3 points]

Remarque

Comme admet une seule valeur propre 1 de multiplicité 3, plutôt que de déterminer la dimension de , on aurait pu remarquer que est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à la matrice , c'est-à-dire si il existe une matrice inversible de telle que . Or , donc est diagonalisable si et seulement si , c'est-à-dire si et seulement si .

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Des conditions suffisantes pour qu'un endomorphisme admette des vecteurs propres

Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel sur . Un vecteur de est un vecteur propre de s'il vérifie les deux conditions suivantes :

  • est un vecteur non nul,

  • il existe un scalaire appartenant à tel que .

  1. Si le déterminant de est nul alors n'est pas injective et son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. Il existe des vecteurs non nuls de tels que . Ces vecteurs sont des vecteurs propres de associés à la valeur propre 0 et par conséquent admet des vecteurs propres.

    [3 points]

  2. Soit un vecteur de et un réel tel que f(u)=\lambda u. On a : .

    Si on obtient d'où . Comme , l'égalité n'est satisfaite que si est le vecteur nul. Le seul vecteur de tel qu'il existe un réel vérifiant est le vecteur nul, par conséquent n'admet pas de vecteur propre.

    [3 points]

  3. Lorsque la dimension de est impaire nous pouvons montrer que tout endomorphisme de admet des vecteurs propres. En effet si la dimension de est impaire le polynôme caractéristique de est de degré impair. Comme tout polynôme de degré impair à coefficients dans admet au moins une racine réelle, le polynôme caractéristique de admet au moins une racine réelle et ces racines réelles sont les valeurs propres de . Par conséquent si n'admet pas de vecteur propre la dimension de ne peut pas être impaire.

    [4 points]

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Matrices inversibles et matrices diagonalisables
  1. On peut donner un contre-exemple : il existe des matrices inversibles qui ne sont pas diagonalisables. Soit la matrice de ( ou ). Comme , est inversible. Comme , 1 est une valeur propre double de . Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre 1. On a : .

    est la droite vectorielle de de base . Le sous-espace vectoriel est de dimension 1 et la valeur propre associée est de multiplicité 2, donc n'est pas semblable à une matrice diagonale.

    [2 points]

  2. Toute matrice carrée qui admet 0 pour valeur propre n'est pas inversible car son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. La matrice de ( ou ) est une matrice diagonale qui admet pour valeurs propres 1 et 0 donc n'est pas inversible bien qu'elle soit diagonalisable.

    [2 points]

    • Comme , et on a :

      • Si , n'est pas inversible car son déterminant est nul.

      • Si , est inversible car son déterminant n'est pas nul.

      [2 points]

    • On a . Les valeurs propres de sont et .

      • Si , les réels et sont distincts. La matrice carrée d'ordre 2 admet deux valeurs propres distinctes donc elle est diagonalisable et semblable à la matrice .

      • Si , on a donc est une matrice diagonale.

      Par conséquent quels que soient les réels et est diagonalisable et semblable à la matrice .

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Matrices dont un produit est une matrice diagonalisable
  1. Comme , est une matrice diagonale donc diagonalisable.

    [1 point]

    Comme et , admet une seule valeur propre double 0. Comme n'est pas la matrice nulle elle ne peut pas être semblable à la matrice nulle, elle n'est donc pas diagonalisable.

    [2 points]

      • Si est inversible nous avons , donc les matrices et sont semblables.

      • Si est inversible nous avons , donc les matrices et sont semblables.

      Par conséquent si A et B sont deux matrices de dont l'une, au moins, est inversible alors les matrices et sont semblables.

      [3 points]

    • Lorsque deux matrices de sont semblables, si l'une est diagonalisable l'autre est aussi diagonalisable. En effet si , sont des matrices de est une matrice diagonale et des matrices inversibles telles que et , alors . Ceci prouve que si est semblable à la matrice diagonale , toute matrice semblable à est aussi semblable à la matrice diagonale .

      Lorsque l'une des matrices ou est inversible, on a montré précédemment que les matrices et sont semblables. Par conséquent si la matrice est diagonalisable, alors est diagonalisable. La question 1 montre que ce résultat peut être faux lorsque ni ni ne sont des matrices inversibles.

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Bilan
Nombre de questions :4
Score obtenu :/37
Seuil critique :26
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :50 min.
Conclusion :
Légende :
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S'évaluer
S'exercer
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