1. Pour déterminer les valeurs propres de on calcule le polynôme caractéristique de .

    En ajoutant la ligne 2 à la ligne 1 on fait apparaître une factorisation par .

    On enlève la colonne 1 à la colonne 2.

    L'endomorphisme de a trois valeurs propres distinctes , et , il est donc diagonalisable.

    Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre et un vecteur de .

    est la droite vectorielle de base .

    Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre et un vecteur de .

    est la droite vectorielle de base .

    Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre et un vecteur de .

    Les deux premières équations sont équivalentes.

    est la droite vectorielle de base .

    Les vecteurs , et sont des vecteurs propres associés à trois valeurs propres distinctes. Ils sont donc linéairement indépendants et forment une base de .

    Soit . Comme , , la matrice de dans la base est : .

    La matrice de passage de la base à la base est et .

  2. et pour tout entier n strictement positif, .

    La matrice est la matrice de passage de la base à la base .

    d'où

    et

    et