1. Pour déterminer les valeurs propres de on calcule le polynôme caractéristique de .

    En retranchant à la colonne 1 la colonne 3 on fait apparaître une factorisation par 3+X.

    On ajoute la ligne 1 à la ligne 3.

    Le polynôme caractéristique de est scindé dans .

    L'endomorphisme de a deux valeurs propres distinctes : est une valeur propre double, est une valeur propre simple.

    L'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.

    La dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre simple est égale à 1.

    Donc est diagonalisable si et seulement si la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre double est égale à .

    Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre double et un vecteur de .

    est un plan vectoriel de . L'endomorphisme est donc diagonalisable.

    On détermine maintenant une base de formée de vecteurs propres de .

    Les vecteurs et sont deux vecteurs non colinéaires de , ils forment donc une base de .

    Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre et un vecteur de .

    Les opérations suivantes , transforment le système en un système équivalent :

    est la droite vectorielle de base .

    est une base de , est une base de donc la famille est libre et les vecteurs , et forment une base de .

    Soit . Comme , , la matrice de dans la base est : .

    La matrice de passage de la base à la base est et .

  2. En ajoutant la ligne 2 à la ligne 3 on fait apparaître une factorisation par 2-X.

    On enlève la colonne 3 à la colonne 2.

    Le polynôme caractéristique est scindé dans et l'endomorphisme de a deux valeurs propres distinctes : est une valeur propre simple, est une valeur propre double.

    L'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre double est égale à .

    Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre double et un vecteur de .

    est une droite vectorielle. L'endomorphisme n'est donc pas diagonalisable : on ne peut pas trouver une base de formée de vecteurs propres de .