1. .

    Le rang de est égal à . L'endomorphisme n'est donc pas bijectif et son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. Il existe alors un vecteur non nul de tel que . Donc est valeur propre de .

  2. Soit .

    Comme est linéaire .

    Comme est non nul, est une valeur propre de et est un vecteur propre associé à cette valeur propre.

  3. Le sous-espace propre associé à la valeur propre est le noyau de . D'après le théorème du rang, .

    , d'où .

    Soit une base de . Le vecteur étant un vecteur propre associé à la valeur propre , les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base de . Il existe donc une base de , formée de vecteurs propres de .

    Pour déterminer une base de , il suffit d'obtenir 3 vecteurs linéairement indépendants, appartenant à .

    On sait que .

    D'où, , , .

    Les vecteurs appartiennent à . Ils sont linéairement indépendants. En effet, soit trois réels :

    Soit est une base de et est une base de .

    La matrice de dans la base est diagonale car est formée de vecteurs propres de .

    La matrice de passage de la base à la base est :

    et .