Le polynôme caractéristique de est scindé dans .

a deux valeurs propres doubles et , et est diagonalisable si et seulement si à chaque valeur propre double correspond un sous-espace propre de dimension égale à .

Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre .

, et la matrice associée à est :

D'après le théorème du rang,

Or .

La dimension de est donc égale à si et seulement si le rang de est égal à .

Il existe un mineur d'ordre non nul extrait de : , le rang de est égal à si et seulement si tous les mineurs d'ordre extraits de sont nuls.

Si les deux premières lignes de sont nulles. Tous les mineurs d'ordre extraits de sont nuls.

Si il existe un mineur d'ordre extrait de non nul : .

La dimension de est donc égale à si et seulement si .

, et la matrice associée à est :

D'après le théorème du rang, .

La dimension de est donc égale à si et seulement si le rang de est égal à . Il existe un mineur d'ordre non nul extrait de  : , le rang de est égal à si et seulement si tous les mineurs d'ordre extraits de sont nuls.

Si les deux dernières colonnes de sont nulles. Tous les mineurs d'ordre extraits de sont nuls.

Si il existe un mineur d'ordre extrait de non nul :

La dimension de est donc égale à si et seulement si .

L'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si .