1. Soit la base canonique de et soit la matrice carrée d'ordre associée à l'endomorphisme dans la base .

    On a , donc :

    , et le polynôme caractéristique de est :

    Comme , la seule valeur propre de est .

    On pouvait aussi remarquer que si est un polynôme non nul, les degrés de et de sont liés par la relation . Donc l'égalité ne peut avoir lieu que si est le polynôme constant et si est nul.

    Le rang de la matrice est , car les colonnes de cette matrice forment un système de rang . Donc d'après le théorème du rang, le sous-espace propre de associé à la valeur propre est de dimension , comme il contient le polynôme , il est engendré par ce polynôme.

    Le sous-espace propre est le sous-espace vectoriel formé des polynômes constants. Comme l'ordre de multiplicité de la valeur propre n'est pas égale à la dimension du sous-espace propre , on en déduit que n'est pas diagonalisable.

  2. Soit un réel. On cherche les fonctions telles que , est donc solution de l'équation .

    Les solutions de cette équation sont toutes les fonctions de la forme , où appartient à .

    On a ainsi montré que pour tout réel , il existe une fonction non nulle telle que , par exemple la fonction .

    L'ensemble des fonctions de telles que est le sous-espace vectoriel de dimension engendré par la fonction .

    Remarque : tout réel est « valeur propre » de et le problème de la diagonalisation n'a aucun sens ici.