1. Soient une valeur propre de et un vecteur propre associé, appartient à , espace vectoriel des matrices à lignes et colonne.

    Donc .

    On montre la propriété suivante : , pour tout entier strictement positif.

    La propriété est vraie pour .

    Supposons-la vraie pour un entier : .

    Comme , on a bien .

    La propriété est donc héréditaire, comme elle est vraie pour l'entier , elle est vraie pour tout entier strictement positif.

    Donc si est une valeur propre de , associée au vecteur propre , alors est une valeur propre de associée au même vecteur propre .

    Et les vecteurs propres de sont des vecteurs propres de .

    On en déduit l'égalité suivante :

    ,

    donc .

    Si est une valeur propre de associée au vecteur propre , est une valeur propre de associée au même vecteur propre .

    Les vecteurs propres de sont des vecteurs propres de .

  2. On calcule . On trouve :

    ,

    donc , où est la matrice unité d'ordre .

    D'où , avec .

    Pour connaître les valeurs propres de , on commence par chercher les valeurs propres de .

    Pour connaître les valeurs propres de , on calcule son polynôme caractéristique . On trouve :

    Les valeurs propres de sont donc , et .

    La matrice d'ordre a trois valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable :

    L'espace vectoriel admet une base de vecteurs propres de . D'après la question 1. , ces vecteurs propres sont aussi des vecteurs propres de donc est aussi diagonalisable, et ses valeurs propres sont et .

    Comme , les valeurs propres de sont :

    .

    Comme est semblable à une matrice diagonale , son déterminant est égal au produit des éléments de la diagonale de , qui sont les valeurs propres de .

    On en déduit : .

  3. On procède de même pour et . On trouve :

    , ,

    et donc .

    Le polynôme caractéristique de est , donc la matrice a quatre valeurs propres distinctes qui sont et , où est le nombre complexe vérifiant .

    Et pour les mêmes raisons que celles données à la question 3. , les matrices et sont diagonalisables, et les valeurs propres de sont :