1. On a et .

    On cherche sous la forme telle que d'où

    Or , on remarque que les valeurs , , , conviennent.

    On en déduit l'égalité , où est la matrice .

  2. On veut montrer la propriété suivante :

    Pour tout entier , . (1)

    Comme est la matrice unité d'ordre 2, la propriété (1) est vraie pour .

    Supposons-la vraie pour l'entier , on a donc : .

    Comme , alors .

    La propriété (1) est héréditaire ; comme elle est vraie pour l'entier , elle est vraie pour tout entier positif ou nul.

  3. Comme la matrice est , son polynôme caractéristique est égal à . Ce polynôme admet deux racines distinctes et , donc est diagonalisable et est semblable à la matrice diagonale :

    Il existe donc une matrice inversible telle .

    Cela entraîne .

    Pour déterminer une telle matrice , on considère l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est , et on cherche une base de vecteurs propres de : la matrice sera la matrice de passage de la base canonique à cette base de vecteurs propres.

    On détermine le sous-espace propre :

    Ceci prouve que est un sous-espace vectoriel de dimension 1 dont une base est formée du vecteur .

    On détermine le sous-espace propre :

    Ceci prouve que est un sous-espace vectoriel de dimension 1 dont une base est formée du vecteur .

    Les deux vecteurs et forment donc, dans , une base de vecteurs propres de et la matrice de passage de la base canonique à cette base de vecteurs propres, , est une matrice qui vérifie , avec D=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&2\end{array}\right).

    En calculant l'inverse de , par exemple en utilisant la formule , où est la matrice des cofacteurs, on obtient :

    D'où . En calculant ce produit on obtient :

  4. Comme , on a

    donc

    ou