1. Soit un sous-espace vectoriel de engendré par une famille de vecteurs propres. L'espace vectoriel étant de dimension finie , est aussi de dimension finie , , donc de la famille de vecteurs propres qui engendrent , on peut extraire une base notée .

    Soit un élément de , il existe des scalaires , , tels que

    .

    Cela entraîne .

    En notant les valeurs propres associées à , on obtient , on remarque alors que est une combinaison linéaire de et donc appartient à .

    Donc est stable par .

  2. Soit un sous-espace vectoriel de , stable par .

    Puisque l'endomorphisme de est diagonalisable, il existe une base de formée de vecteurs propres de .

    D'après le théorème de la base incomplète, on peut « compléter » une base de par des vecteurs de la base pour obtenir une base de .

    On note une base de et les vecteurs de la base tels que soit une base de .

    Soit le sous-espace vectoriel de engendré par .

    Par construction de et de , est un supplémentaire de , et d'après la question 1, est stable par .