1. Soient une valeur propre de , le sous-espace propre associé à ,

    et .

    (Remarque : l'un de ces sous-espaces peut ne contenir que le vecteur nul).

    1.a. On veut montrer l'égalité .

    On sait que et sont des sous-espaces supplémentaires, donc , à fortiori . Donc la somme de et est directe et comme chacun d'eux est inclus dans , on a

    On montre :

    Soit u un élément de , donc ; , en tant qu'élément de , s'écrit , , .

    Ceci entraîne à la fois et .

    Or et sont stables par donc et , et comme la somme de et est directe l'écriture de comme somme d'un élément de et d'un élément de est unique.

    Cela entraîne : et .

    Donc et d'où .

    On a bien montré l'égalité .

    1.b. Soient les valeurs propres distinctes de .

    Comme est diagonalisable, est somme directe de ses sous-espaces propres.

    Donc .

    Or d'après 1.a. , , .

    L'égalité suivante est alors immédiate :

    . Comme , , et , on en déduit :

    et .

    Comme on a aussi , la seule possibilité est :

    et .

    (On peut aussi considérer les dimensions de tous les sous-espaces intervenant dans ces sommes directes.)

  2. Donc .

    Il est possible que certains des soient réduits au vecteur nul. Comme la dimension de est non nulle, un au moins de ces sous-espaces vectoriels n'est pas réduit au vecteur nul.

    En notant ceux des tels que ne soit pas réduit au vecteur nul, on en déduit : .

    Le sous-espace vectoriel admet donc comme base la réunion des bases des , .

    Or , donc tout élément non nul de appartient à et est donc un vecteur propre de : .

    Soit la restriction de au sous-espace :

    .

    Comme appartient à , on obtient , donc est un vecteur propre de .

    Donc admet une base formée de vecteurs propres de .

    D'où est diagonalisable.