1. Soient une valeur propre de et le sous-espace propre associé à .

    Soit appartenant à , donc .

    On montre que appartient à :

    en effet car . Comme , il vient . Donc , ce qui signifie que appartient aussi à , donc est stable par .

  2. Comme est un espace vectoriel sur , le polynôme caractéristique de est scindé, il admet donc une racine, notée , qui est une valeur propre de .

    Le sous-espace propre est stable par d'après la question 1). On peut donc considérer la restriction de au sous-espace :

    L'application est un endomorphisme de , qui est lui aussi un espace vectoriel de dimension finie sur , donc le polynôme caractéristique de a une racine qui est une valeur propre de .

    Il existe alors un élément de qui est vecteur propre de , c'est-à-dire tel que et . Or .

    Donc , non nul, vérifie à la fois et (puisque appartient à ). D'où est un vecteur propre commun à et à .

  3. On suppose de plus que et sont diagonalisables.

    Soient les valeurs propres distinctes de , donc , étant le sous-espace propre associé à la valeur propre .

    D'après la question 1, les sous-espaces propres , , sont stables par , or on a le résultat rappelé de l'exercice précédent : « La restriction à un sous-espace vectoriel stable d'un endomorphisme diagonalisable est diagonalisable ».

    Donc dans chaque , , il existe une base de vecteurs propres pour la restriction de à ce sous-espace, ces vecteurs propres sont donc aussi des vecteurs propres de , mais ce sont des vecteurs propres de d'après la définition de .

    Comme est somme directe des , , la réunion de ces bases de est une base de ; c'est une base commune de vecteurs propres de et .

    De plus, si est vecteur propre à la fois de et de , il existe et tels que et , donc et est vecteur propre de .

    Donc la base commune de vecteurs propres de et est une base de vecteurs propres de , donc est diagonalisable.

  4. Soit associé à la matrice et associé à la matrice dans la base canonique de .

    La matrice est diagonale donc est diagonalisable, la matrice admet deux valeurs propres et distinctes donc est diagonalisable.

    Le produit est égal à donc n'est pas diagonalisable car la matrice a la seule valeur propre double sans être égale à , étant la matrice unité d'ordre 2 (voir par exemple que le rang de est , donc est de dimension 1). Ceci ne peut s'expliquer que par l'absence d'au moins une hypothèse.

    En effet et . Donc .