1. Soit un -espace vectoriel de dimension , un ensemble d'endomorphismes diagonalisables commutant deux à deux.

    Tout vecteur non nul de forme une base de , et quelque soit l'endomorphisme de , est colinéaire à , donc est une base de vecteurs propres pour tout endomorphisme de , donc à fortiori pour tout élément de .

    Donc la propriété est vraie.

  2. Soit un -espace vectoriel de dimension , , un ensemble d'endomorphismes diagonalisables commutant deux à deux.

    2.a Soit une homothétie de , c'est-à-dire : ; donc tout élément non nul de est un vecteur propre de .

    Soit une base de , cette base est donc une base de vecteurs propres pour n'importe quelle homothétie de et si tous les éléments de sont des homothéties, la propriété est vérifiée.

    2.b Soit un élément de , n'étant pas une homothétie. Puisque est diagonalisable, soient les valeurs propres de et les sous-espaces propres associés (l'entier est strictement supérieur à puisque n'est pas une homothétie).

    Soient un entier compris entre et , et appartenant à , donc .

    Soit appartenant à , donc commute avec . On montre que appartient à :

    En effet car . Comme , il vient . Donc , ce qui signifie que appartient à .

    Donc tous les sous-espaces propres , , sont stables par tous les endomorphismes de .

    Soit fixé, , et soit appartenant à . Le sous-espace propre étant stable par , et étant diagonalisable, la restriction de à est diagonalisable.

    Donc les restrictions des éléments de au sous-espace propre forment un ensemble d'endomorphismes diagonalisables commutant deux à deux.

    Or le sous-espace vectoriel est de dimension strictement inférieur à car est contenu dans et n'est pas égal à puisque n'est pas une homothétie.

    Comme la propriété est vraie pour tout entier , , dans le -espace vectoriel , il existe une base formée de vecteurs propres communs à toutes les restrictions des éléments de , mais les vecteurs propres des restrictions des éléments de sont aussi des vecteurs propres de ces éléments.

    Ceci est vrai dans chaque , . Or est diagonalisable, donc , et la réunion des bases des forme une base de .

    On a donc construit dans une base de vecteurs propres communs à tous les éléments de . La propriété est donc vérifiée.

  3. Les questions 1. et 2. constituent la démonstration par récurrence de la propriété . Donc on a démontré le résultat suivant :

    Dans un -espace vectoriel de dimension finie ( ), il existe une base formée de vecteurs propres communs à un ensemble d'endomorphismes diagonalisables commutant entre eux.