1. Si est inversible, on peut écrire , donc les matrices et sont semblables.

    Or deux matrices et semblables ont le même polynôme caractéristique.

    Rappel de la démonstration :

    Soient et deux matrices semblables : il existe une matrice inversible telle que , alors :

    Les matrices et , étant semblables, ont donc le même polynôme caractéristique.

  2. 2.a Si le scalaire n'est pas une valeur propre de , il n'est pas racine du polynôme caractéristique de , donc .

    Comme , le déterminant de la matrice n'est pas nul, on en déduit que la matrice est inversible, et d'après la question 1., les matrices et ont le même polynôme caractéristique.

    2.b Lorsqu'on développe un déterminant, on obtient une somme dont les termes sont des produits des coefficients du déterminant.

    Le nombre étant fixé, les applications et sont définies par

    et .

    En développant ces déterminants on obtient des fonctions polynômes en .

    On remarque que pour égal à , scalaire qui n'est pas une valeur propre de , on a les égalités :

    et

    Or, d'après la question a., les matrices et ont le même polynôme caractéristique.

    Par suite, pour non valeur propre de , on a l'égalité .

    On considère le polynôme de associé à la fonction . On remarque que tout , non valeur propre de , est racine de , or la matrice n'a qu'un nombre fini de valeurs propres donc, comme est infini, ce polynôme a une infinité de racines, c'est donc le polynôme nul.

    Par suite, les applications et sont des fonctions polynômes égales.

    2.c Si on considère la matrice et son polynôme caractéristique,

    , on remarque que, pour tout élément de , on a l'égalité :

    De même .

    Or d'après la question b., les applications et sont égales, donc en particulier . On a montré ainsi la relation : .

    Mais, comme est infini, deux fonctions polynômes sont égales sur si et seulement si les polynômes associés sont égaux. Donc :

    ,

    et les matrices et ont le même polynôme caractéristique.