1. Une matrice carrée à coefficients dans ( ou ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.

    Pour savoir si est diagonalisable nous devons calculer son polynôme caractéristique et s'il est scindé dans , la dimension des sous-espaces propres. Nous avons :

    .

    • n'est pas scindé sur , par conséquent n'est pas diagonalisable sur .

    • est scindé sur et ses racines sont simples, par conséquent est diagonalisable sur .

  2. Le sous-espace vectoriel est le noyau de l'endomorphisme . Si est la matrice unité de , la matrice de dans la base canonique de est la matrice , et le rang de l'endomorphisme est aussi le rang de la matrice . D'après le théorème du rang nous avons :

    ,

    ce qui nous donne

    .

    De même nous avons :

    , ce qui nous donne .

    Rappel : Lorsque est une matrice de ( ou ), le rang de est le plus grand entier tel qu'il existe une matrice extraite de d'ordre dont le déterminant n'est pas nul.

    Il en résulte que la matrice étant une matrice à coefficients réels son rang est le même lorsque nous la considérons comme matrice de ou de et nous obtenons :

    .

  3. La matrice est une matrice à coefficients réels dont le polynôme caractéristique est scindé dans . Notons les racines de ce polynôme et leurs multiplicités. Nous avons

    .

    Comme dans la question 2. nous notons :

    • l'endomorphisme du -espace vectoriel dont la matrice dans la base canonique est . Nous avons , et nous appelons le sous-espace propre de associé à la valeur propre .

    • l'endomorphisme du -espace vectoriel dont la matrice dans la base canonique est . Nous avons , et nous appelons le sous-espace propre de associé à la valeur propre .

    Nous avons montré dans la question 2. l'égalité . Le polynôme caractéristique de étant scindé sur , est diagonalisable si et seulement si pour tout nous avons , et est diagonalisable si et seulement si pour tout nous avons . Par conséquent l'endomorphisme du -espace vectoriel est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme du -espace vectoriel est diagonalisable.

    Or la matrice est diagonalisable dans si et seulement si l'endomorphisme du -espace vectoriel est diagonalisable. De même la matrice est diagonalisable dans si et seulement si l'endomorphisme du -espace vectoriel est diagonalisable.

    Par conséquent nous avons prouvé que lorsque est une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé sur , est diagonalisable dans si et seulement si est diagonalisable dans .