1. Pour déterminer les valeurs propres de on calcule le polynôme caractéristique ; on peut cependant prévoir que l'une des valeurs propres est car la matrice est visiblement non inversible, en effet les trois colonnes (ou les trois lignes) sont proportionnelles.

    En faisant les opérations suivantes : , et , on obtient :

    . En retranchant la ligne 1 de la ligne 3, on a finalement :

    .

    On a donc deux valeurs propres : qui est simple, et qui est double.

    On appelle le sous-espace associé à la valeur propre et le sous-espace associé à la valeur propre .

    Soit

    En faisant les opérations élémentaires et , on obtient le système équivalent :

    D'où

    Le sous-espace propre est donc la droite vectorielle de base .

    On détermine le sous-espace propre qui est égal au noyau de .

    Les trois équations de ce système sont équivalentes à . C'est une équation du plan vectoriel engendré par les vecteurs et ; ces vecteurs sont linéairement indépendants, ils constituent une base de .

    Pour chaque valeur propre la dimension du sous-espace propre associé est égale à l'ordre de multiplicité de cette valeur propre : l'endomorphisme est diagonalisable.

    Les vecteurs propres déterminent une base de et la matrice de dans cette base est :

  2. La droite vectorielle et le plan vectoriel étant supplémentaires, tout vecteur s'écrit de manière unique comme somme d'un vecteur de et d'un vecteur de :

    Si on calcule l'image de par on a :

    L'endomorphisme est donc la projection sur parallèlement à .