1. D'après la matrice on a :

    D'où

  2. On en déduit que et sont des vecteurs propres associés à la valeur propre et que est un vecteur propre associé à la valeur propre .

    Les vecteurs , et sont linéairement indépendants, en effet l'équation :

    est équivalente au système qui a pour unique solution .

    La dimension de étant égale à , ces vecteurs déterminent une base de ; on a donc obtenu une base de vecteurs propres de , cet endomorphisme est donc diagonalisable et sa matrice relativement à cette base est :

    L'endomorphisme a deux valeurs propres d'ordre 2 et simple ; le sous-espace propre associé à est le plan vectoriel engendré par , et le sous-espace propre associé à est la droite vectorielle engendrée par .

  3. Les sous-espaces et sont supplémentaires : .

    Tout vecteur s'écrit de manière unique comme somme d'un vecteur de et d'un vecteur de :

    Si on calcule l'image de par on a :

    L'endomorphisme est donc la symétrie par rapport à parallèlement à .

    Remarque : Si on considère l'espace euclidien muni de la base orthonormée , les vecteurs , et sont orthogonaux deux à deux ; est donc la symétrie orthogonale par rapport au plan .