1. , , d'où pour tout , .

  2. , d'où le polynôme est un polynôme annulateur de . Le polynôme minimal de est un diviseur de . Or, n'est pas un polynôme annulateur de car on a : .

    Le polynôme minimal de est donc .

  3. d'où et .

    Alors, .

    On se propose de démontrer par récurrence que pour tout entier , , .

    On note la propriété : .

    • d'où est vraie.

    • On suppose que pour un entier , , .

      Alors, .

      Si est vraie, alors est vraie.

      Conclusion : pour tout entier , , .

      Or, cette égalité est aussi vraie pour car et pour . Elle est donc vraie pour tout élément de .

  4. d'où et . La matrice est donc inversible et . Cette égalité peut s'écrire avec ou avec .

    Démontrons par récurrence, que pour tout élément de , .

    On note la propriété : .

    • est vraie.

    • On suppose que .

    Alors,

    Si est vraie, alors est vraie.

    On a donc démontré par récurrence que :

    pour tout élément de , c'est-à-dire .

    On a donc pour tout entier négatif, .

    On a démontré à la question 2. que pour tout élément de , .

    Donc, pour tout élément de , .