1. Le polynôme étant à coefficients réels, il peut être considéré comme un polynôme de . Comme est un polynôme annulateur de , il est dans l'idéal de engendré par le polynôme : il existe un polynôme de tel que :

    Cette égalité signifie que dans le polynôme divise le polynôme .

  2. Comme est un polynôme annulateur de , . On a noté et les polynômes de tels que :

    Par conséquent on a et ,

    est la matrice nulle de .

    Or les polynômes et ainsi que la matrice sont à coefficients réels, par conséquent les matrices et sont à coefficients réels. Comme est un -espace vectoriel de dimension 2 dont une base est l'égalité :

    n'est réalisée que si .

    Les polynômes à coefficients réels et sont des annulateurs de la matrice , par conséquent ils sont dans l'idéal de engendré par le polynôme .

    Autrement dit, dans , les polynômes et sont des multiples du polynôme .

  3. Nous avons montré dans la question précédente, l'existence de deux polynômes , de tels que :

    et

    Comme nous obtenons :

    Cette égalité prouve que dans le polynôme divise le polynôme . Or nous avons montré dans la question 1. que dans le polynôme divise le polynôme , comme ces polynômes sont unitaires ils sont égaux.