Partie A :

  1. L'endomorphisme du -espace vectoriel de dimension finie étant diagonalisable il existe une base de formée de vecteurs propres de . Si est un vecteur de cette base, il existe un scalaire tel que :

    Par conséquent, si l'entier est supérieur ou égal à 1, on a

    et est une base de formée de vecteurs propres de : l'endomorphisme est diagonalisable.

  2. Comme l'endomorphisme de est défini sur la base par

    ,

    on a et est l'endomorphisme nul de . La matrice de dans n'importe quelle base de est la matrice nulle, donc est diagonalisable.

    Le polynôme est un polynôme annulateur de , donc son polynôme minimal est un diviseur de . On a donc :

    ou

    Comme n'est pas l'endomorphisme nul on obtient :

    Le polynôme minimal de admet pour racine double donc n'est pas diagonalisable.

    (On peut montrer que n'est pas diagonalisable sans utiliser le polynôme minimal. En effet la matrice de dans la base est :

    ,

    et son polynôme caractéristique est le polynôme . Ce polynôme n'admet qu'une seule valeur propre qui est . Si était diagonalisable sa matrice dans une base de vecteurs propres serait la matrice nulle et, par conséquent, serait l'endomorphisme nul. Ceci n'est pas le cas donc n'est pas diagonalisable. Comme est une valeur propre de , l'endomorphisme n'est pas injectif donc il n'est pas inversible.)

    Remarque : on a dans cette question un endomorphisme dont une puissance est diagonalisable mais qui n'est pas diagonalisble. On peut constater que cet endomorphisme n'est pas inversible.

  3. 3.i D'après les propriétés des déterminants on a :

    Comme est inversible son déterminant n'est pas nul. Par conséquent le déterminant de n'est pas nul et est inversible.

    L'endomorphisme étant inversible, n'est pas valeur propre et n'est pas racine de son polynôme minimal :

    3.ii On a supposé que l'endomorphisme est diagonalisable, par conséquent son polynôme minimal est scindé (ce qui est toujours le cas dans ) et ses racines sont simples. Comme de plus n'est pas racine de son polynôme minimal, il existe des nombres complexes distincts deux à deux et non nuls tels que

    Comme on a :

    Les racines du polynôme sont les racines -ièmes des nombres complexes . Comme ces nombres sont non nuls ils admettent chacun racines -ièmes distinctes, et comme ils sont distincts ces racines sont distinctes deux à deux. Cela signifie que le polynôme , qui est de degré admet racines distinctes et ces racines sont simples.

    3.iii Comme est le polynôme minimal de , c'est un polynôme annulateur de par conséquent :

    Comme on obtient :

    et est un polynôme annulateur de .

    Les polynômes annulateurs de sont les multiples de son polynôme minimal, par conséquent le polynôme divise le polynôme .

    Comme le polynôme est scindé et à racines simples, ses diviseurs, en particulier , sont des polynômes scindés et à racines simples. Ceci prouve que l'endomorphisme est diagonalisable.

Partie B :

  1. Comme l'endomorphisme de est défini sur la base par :

    l'endomorphisme de est défini sur la base par :

    Ceci prouve que , et est diagonalisable.

    Comme et que , le déterminant de est non nul et est inversible.

    L'endomorphisme du -espace vectoriel de dimension finie est inversible et une de ses puissances est diagonalisable. La partie A de l'exercice prouve que est aussi diagonalisable.

    Le polynôme est un polynôme annulateur de , donc son polynôme minimal est un diviseur de . On a donc :

    ou ou

    Comme n'est ni l'homothétie ni l'homothétie , les polynômes et ne sont pas des polynômes annulateurs de , par conséquent on obtient :

  2. Comme l'endomorphisme de est défini sur la base par :

    l'endomorphisme de est défini sur la base par :

    Ceci prouve que .

    Comme , le polynôme est un polynôme annulateur de . Ce polynôme étant unitaire et irréductible sur , c'est le polynôme minimal de . Le polynôme minimal de n'étant pas scindé sur , n'est pas diagonalisable.

    Remarque : cet exemple montre que le corps de base joue un rôle important dans le résultat obtenu dans la partie A : un endomorphisme inversible d'un -espace vectoriel de dimension finie dont une puissance est diagonalisable est diagonalisable. Ce résultat peut être faux dans le cas d'un -espace vectoriel.