1. Compte tenu de la définition de la matrice associée à un endomorphisme par rapport à une base, il vient :

    On a immédiatement :

  2. D'après le résultat de la question précédente, on a :

    Cela permet d'écrire :

    soit encore .

    Cela prouve que le polynôme est un polynôme annulateur de relativement à .

    La question qui se pose alors est celle de l'existence d'un polynôme annulateur de relativement à de degré inférieur ou égal à .

    Soit un tel polynôme. Il vérifie l'égalité d'où .

    Comme les vecteurs sont linéairement indépendants, tous les coefficients sont nuls. Donc est le polynôme nul, et par conséquent est le polynôme de plus bas degré annulateur de ; c'est donc le polynôme minimal de relativement à , noté .

  3. Il résulte du cours que le polynôme minimal de relativement à divise le polynôme minimal de . Donc est un multiple de et est au moins de degré 5.

    Pour conclure, il y a deux méthodes.

    • Première méthode : elle ne suppose pas connue le théorème de Cayley Hamilton

      L'idée de cette méthode est de montrer que

      est un polynôme annulateur de . Pour cela il suffit de montrer que .

      On a déjà .

      Calculons .

      Cela donne .

      Comme , cela donne :

      De même :

      Le polynôme , polynôme annulateur de est donc un multiple du polynôme minimal de .

      Comme et sont unitaires, il sont égaux.

      Cela achève la démonstration.

    • Deuxième méthode : elle suppose connue le théorème de Cayley Hamilton...

      ...dont une des conséquences est que le degré du polynôme minimal est au plus égal à la dimension de l'espace. Donc est au plus de degré 5 (dimension de l'espace ). Donc est de degré 5 et comme de plus il est unitaire .

      Remarque : .

  4. La relation prouve que est racine du polynôme minimal de .

    De plus on a . Donc la relation prouve que est racine du polynôme dérivé du polynôme minimal de . Donc le polynôme minimal de admet comme racine avec un ordre de multiplicité au moins égal à . Donc f n'est pas diagonalisable.