1. Il suffit de vérifier que et appartiennent à ce qui est clair puisque et .

  2. Le principe de la démonstration est le suivant :

    On commence par étudier les vecteurs et :

    • ou bien ils sont liés et on cherche une relation de dépendance linéaire qui permet de trouver le polynôme minimal de ,

    • ou bien ils ne le sont pas et l'on recommence avec les vecteurs .

    Le processus s'arrête au maximum avec la famille puisque le polynôme minimal d'un vecteur est de degré inférieur ou égal à la dimension de l'espace considéré.

    Détail de la démonstration

    Les vecteurs et sont visiblement linéairement indépendants (non colinéaires) et donc le polynôme minimal de est de degré supérieur ou égal à 2.

    • Calcul de

      Pour cela on peut par exemple faire le calcul matriciel :

      d'où on déduit : .

    On trouve , les trois vecteurs sont combinaisons linéaires de deux vecteurs et , et sont donc linéairement dépendants.

    Pour trouver une relation de dépendance linéaire cherchons les solutions de l'équation .

    Cette égalité équivaut au système :

    qui admet pour solution les triplets .

    On en déduit la relation de dépendance linéaire : . Le polynôme est un polynôme annulateur de et c'est celui de plus bas degré, c'est donc .

    Exactement de la même façon, on cherche et l'on trouve aussi . Comme , on obtient .

  3. Les vecteurs et sont visiblement linéairement indépendants (non colinéaires) et donc le polynôme minimal de est de degré supérieur ou égal à 2.

    • Calculons .

      Pour cela on peut faire le calcul matriciel :

      d'où on déduit : .

    On trouve

    Il est clair que la matrice des coefficients des vecteurs dans la base canonique, , est de rang 3 et par conséquent les vecteurs sont linéairement indépendants.

    • Calculons .

      Pour cela on fait le calcul matriciel :

      d'où on déduit : .

    On trouve .

    Le déterminant des vecteurs dans la base canonique est nul car :

    Donc ces vecteurs sont linéairement dépendants. Le polynôme minimal de est de degré 3.

    Pour le déterminer, on cherche une relation de dépendance linéaire entre eux.

    Cherchons les solutions de l'équation .

    Cette égalité équivaut au système :

    • Résolution du système :

      Le système équivaut au système suivant obtenu en permutant les équations, les inconnues et en faisant les simplifications évidentes.

      D'où en utilisant la méthode du pivot de Gauss :

    On trouve que l'ensemble des solutions du système est .

    Alors, on a la relation de dépendance linéaire : . Le polynôme est donc un polynôme annulateur de relativement à et d'après l'étude faite c'est celui de plus bas degré. Par conséquent . Le réel 1 est racine évidente et en factorisant par il vient : .

    On trouve que l'ensemble des solutions du système est . Alors, on a la relation de dépendance linéaire : . Le polynôme est donc un polynôme annulateur de relativement à f et d'après l'étude faite c'est celui de plus bas degré. Par conséquent . Le réel 1 est racine évidente et en factorisant par il vient : .

  4. On peut utiliser le résultat du cours .

    Le polynôme minimal de relativement à est évidemment puisque donc :

    Par conséquent et donc .

  5. L'endomorphisme n'est pas diagonalisable car son polynôme minimal a une racine double.

    Remarque : autre méthode

    La connaissance du théorème de Cayley-Hamilton aurait raccourci les calculs surtout pour la question 2. En effet comme le sous-espace est stable par , . Pour calculer le polynôme de l'endomorphisme de , il suffit, d'après le théorème de Cayley Hamilton, d'étudier les diviseurs du polynôme caractéristique. On a :

    Comme n'est pas égale à , n'est pas un polynôme annulateur de .

    Donc .

    Pour la question 4., on aurait pu calculer le polynôme caractéristique de en utilisant les règles de calculs par blocs c'est-à-dire :

    et donc .

    Il résulte du théorème de Cayley Hamilton et de sa conséquence sur la comparaison des facteurs irréductibles de et que :

    Pour conclure, on peut calculer les produits de matrices dans l'ordre , , en s'arrêtant si l'on trouve la matrice nulle. Sinon on sait déjà (théorème de Cayley-Hamilton) que .

    Cette méthode met en jeu des résultats forts et relativement difficiles à démontrer et n'est pas exempte de calculs comme le prouve la dernière étape. Par contre la première utilise des résultats beaucoup plus élémentaires et comporte peut-être plus de calculs mais eux aussi élémentaires.