1.

2. On effectue la division euclidienne demandée :

Ainsi .

Alors , or d'après le théorème de Cayley-Hamilton , d'où .

Les réels et conviennent donc.

3. Pour étudier l'inversibilité de la matrice , on calcule son déterminant :

Donc ce déterminant n'est pas nul et la matrice est inversible.

On cherche l'inverse de sous la forme , avec .

Soit deux réels et , si alors

, mais d'après le théorème de Cayley-Hamilton donc .

Ainsi .

Pour trouver l'inverse de il suffit de résoudre le système suivant :

. Ce système a une unique solution , .

L'inverse de la matrice est donc la matrice .