1. Le polynôme est un polynôme annulateur de . Dans ce polynôme est égal à , il est donc scindé et n'a que des racines simples. Il en est de même de tout diviseur de ce polynôme et en particulier du polynôme minimal de .

    Par conséquent, la matrice est diagonalisable.

    Remarque : la matrice est inversible car n'est pas une valeur propre de (puisque n'est pas racine du polynôme multiple de ).

    On peut dire aussi que la matrice est inversible car , ce qui est une caractérisation d'une matrice inversible. (L'inverse de étant la matrice ).

  2. a. Dans , le polynôme est un polynôme annulateur de . Il est irréductible, c'est donc le polynôme unitaire de plus bas degré annulateur de , et par conséquent est le polynôme minimal de .

    Ce polynôme n'étant pas scindé, la matrice n'est pas diagonalisable.

    De même que précédemment, la matrice est inversible.

    b. De plus le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de ont les mêmes facteurs irréductibles. Donc le polynôme caractéristique de est de la forme est un entier, d'où et est pair.

    c. Si , d'après la question b., le polynôme caractéristique de est . On cherche sous la forme , où et sont des réels tels que .

    Donc il faut et il suffit que les réels et vérifient les équations et . Par exemple les réels , , et conviennent :

    d. On sait que si est une matrice carrée d'ordre , qui se présente comme un tableau diagonal de matrices carrées :

    ,

    alors .

    Donc, pour tout entier , il suffit de construire une matrice carrée d'ordre se présentant comme un tableau diagonal de matrices carrées d'ordre 2, ayant chacune le même polynôme minimal .

    Par exemple, la matrice de la forme indiquée précédemment avec et , pour tout , , vérifie bien .