1. La matrice étant à coefficients complexes, son polynôme caractéristique est scindé et s'écrit sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré, non nécessairement tous distincts :

    ,

    où les , , sont des nombres complexes ; ce sont les valeurs propres de .

    Donc la matrice s'écrit :

    ,

    désigne la matrice unité de .

    Comme les nombres , , ne sont pas valeurs propres de , chaque matrice est inversible. En effet on a les relations :

    et ,

    (puisque les racines du polynôme caractéristique de , noté , sont les valeurs propres de ), donc .

    Comme le produit de matrices inversibles est aussi inversible, on en déduit que la matrice est inversible.

    • Autre méthode :

      Les polynômes P_{\textrm{car},A} et de , n'ayant aucune racine commune, sont premiers entre eux. Par conséquent il existe deux polynômes et de tels qu'on ait l'identité de Bézout : .

      D'où l'égalité des matrices suivante : .

      D'après le théorème de Cayley-Hamilton : ,

      d'où l'égalité : .

      La matrice est inversible.

  2. Soit une matrice de vérifiant l'équation .

    a. On montre par récurrence l'égalité , pour tout entier .

    Par hypothèses, c'est vrai pour .

    On suppose que c'est vrai pour un entier : , alors

    ,

    l'égalité est donc vraie pour l'entier , elle est donc vraie pour tout entier .

    b. Soit .

    Alors :

    Or, d'après le théorème de Cayley-Hamilton : .

    Donc .

    c. On a montré dans la question 1. que la matrice est inversible.

    En multipliant à droite l'égalité par l'inverse de la matrice , on trouve : la matrice est nulle.

  3. Soit l'endomorphisme de défini pour toute matrice de par .

    (la vérification du fait que est un endomorphisme de est immédiate)

    D'après la question précédente le noyau de défini par :

    ne contient que la matrice nulle donc l'endomorphisme est injectif, et comme l'espace vectoriel est de dimension finie ( ), il est aussi surjectif. Donc est un isomorphisme de .