1. D'aprés le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme minimal d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est un diviseur de son polynôme caractéristique et, de plus, le polynôme caractéristique et le polynôme minimal ont les mêmes facteurs irréductibles.

    Le polynôme P(X) étant un diviseur irréductible de et le plus grand entier tel que divise , les polynômes et sont premiers entre eux. Par conséquent il existe des polynômes irréductibles distincts de , et des entiers non nuls tels que et . Le polynôme minimal de est un diviseur de son polynôme caractéristique et contient les mêmes facteurs irréductibles donc il existe des entiers non nuls tels que et . En posant , on a obtenu un polynôme divisant et un entier compris entre et tels que :

    .

  2. Comme , le polynôme est un diviseur du polynôme , de même le polynôme est un diviseur du polynôme . Ceci permet d'établir que et .

    En effet si et sont deux polynômes non nuls tels que soit un diviseur de , alors . Pour montrer ceci il suffit de remarquer qu'il existe un polynôme tel que et on a :

    .

    Si , on obtient :

    ,

    donc . Ceci prouve que .

  3. Comme les polynômes et sont premiers entre eux, toute puissance de est premier avec tout diviseur de . En particulier les polynômes et sont premiers entre eux, ainsi que les polynômes et . De plus comme et sont les polynômes caractéristique et minimal de , ce sont des polynômes annulateurs de . Par conséquent le lemme des noyaux donne :

    et ,

    et on a : .

    On a montré dans la question précédente que :

    et ,

    par conséquent :

    et

    et l'égalité ne peut avoir lieu que si :

    et .

    On a obtenu

    et

    donc et .

  4. Soit un entier tel que vérifiant l'égalité :

    ,

    et le polynôme défini par . On veut démontrer que est un polynôme annulateur de et prouver ainsi que .

    D'après la question précédente on a :

    ,

    et tout vecteur s'écrit de manière unique sous la forme :

    .

    Pour on a :

    ,

    or , donc et .

    Pour on a

    ,

    or , donc .

    On a démontré que pour tout vecteur et tout vecteur :

    ,

    donc pour tout vecteur de , . Ceci prouve que est un polynôme annulateur de . Or tout polynôme annulateur de est divisible par le polynôme minimal de . Comme et que avec , le polynôme divise le polynôme si et seulement si .

    Par conséquent si l'entier naturel est strictement plus petit que , alors .

    Or on a montré dans la question précédente que ,

    donc est le plus petit entier tel que .

    Remarque : lorsque est un polynôme de degré 1, le sous espace défini par s'appelle le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre . Il contient le sous espace propre associé à la valeur propre mais il est en général distinct. Ces deux sous-espaces sont égaux si et seulement si .