1. .

    Donc une matrice M appartient à EA si et seulement si appartient à ED.

  2. Soit l'application de E dans lui-même, définie par . Il est immédiat que c'est une application linéaire ; elle est injective car si est dans le noyau de donc car est inversible. D'où est bijective et c'est un isomorphisme de .

    D'après la question précédente . L'application étant un isomorphisme, elle conserve les dimensions des sous-espaces vectoriels.

    D'où .

  3. D'après la question 3, trois cas sont à envisager selon la multiplicité algébrique des valeurs propres de .

    La matrice A possède :

    • trois valeurs propres simples, ,

    • une valeur propre double et une valeur propre simple, ,

    • une valeur propre triple, . Dans ce cas .