Soit trois nombres complexes tels que , alors

donc .

Pour continuer deux méthodes sont proposées.

1ère méthode utilisant la théorie des polynômes

Soit le polynôme , s'il n'est pas nul, il est de degré au plus 2 d'où le nombre de ses racines est au plus 2 or il admet au moins trois racines distinctes , c'est donc le polynôme nul.

Le polynôme étant le polynôme nul, .

2ième méthode utilisant un déterminant de Vandermonde

Ainsi les nombres cherchés sont solutions du système linéaire

,

dont le déterminant associé est .

C'est un déterminant de Vandermonde, il est non nul car les scalaires sont deux à deux distincts.

Le système linéaire (S) a donc une solution unique qui est le triplet (0,0,0).

D'où .

On vient de montrer :

.

Ceci exprime que les matrices I3, D, D2 forment une famille libre de .