Il résulte du cours que la matrice ayant trois valeurs propres distinctes, notées , elle est diagonalisable et semblable à la matrice , donc il existe une matrice inversible telle que .

Soit trois nombres complexes tels que , alors , donc et enfin .

Remarque : en utilisant l'isomorphisme introduit au B.4.b. ce résultat est immédiat.

Or d'après la question précédente, les scalaires étant distincts deux à deux, les matrices I3, D, D2 forment une famille libre de . D'où .

On vient de montrer :

.

Ceci exprime que les matrices I3, A, A2 forment une famille libre de .

Il est immédiat que les matrices I3, A, A2 commutent avec la matrice donc appartiennent à EA. Ce sous-espace vectoriel de est de dimension 3.

Les matrices I3, A, A2, étant trois vecteurs linéairement indépendants de EA, elles déterminent une base de EA.

Ainsi EA est l'ensemble des combinaisons linéaires des matrices I3, A, A2.

Autrement dit .