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Produit dans un espace d'endomorphismes (sans notion de polynôme minimal)

Enoncé global

Soit un espace vectoriel sur un corps , ou , de dimension finie et soit un endomorphisme non nul de , admettant au moins une valeur propre.

On note l'application identique de dans lui-même.

Soit l'application de (espace vectoriel sur des endomorphismes de ) dans lui-même définie par :

Question n°1

Vérifier que est un endomorphisme de .

Question n°2
  1. Soit , , une valeur propre de , et soit un vecteur propre de associé à la valeur propre .

    • Montrer qu'il existe une base de contenant le vecteur .

      Soit une telle base.

    • On considère l'endomorphisme défini par :

      Montrer que est un vecteur propre de , et que est valeur propre de .

      En déduire que toute valeur propre de est valeur propre de .

  2. Réciproquement, soit , , une valeur propre de .

    Montrer qu'un endomorphisme non nul de est un vecteur propre de associé à si et seulement si l'inclusion est vérifiée.

    En déduire que toute valeur propre de est valeur propre de .

Question n°3

Soit une valeur propre de (et donc de ).

Déduire de la question 2.b. une relation entre la dimension du sous-espace propre de associé à et la dimension du sous-espace propre de associé à .

Question n°4
  1. Démontrer que est diagonalisable si et seulement si est diagonalisable.

  2. Si est diagonalisable, établir la relation suivante entre les polynômes caractéristiques de et de :

Légende :
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S'exercer
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