1. Soit une valeur propre de , (une telle valeur propre existe d'après les hypothèses faites sur ) et soit un vecteur propre de associé à la valeur propre .

    Le vecteur est non nul, donc est une partie libre de , par conséquent, d'après le théorème de la base incomplète, il existe vecteurs e2, e3, ..., en de tels que (v, e2,e3,...,en) soit une base de .

    Soit l'endomorphisme de défini par

    (Un endomorphisme est bien défini par la donnée des images des vecteurs d'une base).

    En considérant l'endomorphisme de , on a :

    (car le vecteur v est un vecteur propre de associé à la valeur propre ),

    donc ,

    et ,

    donc .

    Par conséquent comme et sont égaux sur une base de , ils sont égaux : .

    On en déduit que est valeur propre de .

    Donc toute valeur propre de est valeur propre de .

  2. Soit , , une valeur propre de (d'après ce qui précède, admet au moins une valeur propre puisque en admet au moins une).

    Un endomorphisme g non nul de est un vecteur propre de associé à la valeur propre si et seulement si .

    Or on a les équivalences suivantes :

    Donc un endomorphisme non nul de est un vecteur propre de associé à si et seulement si l'inclusion est vérifiée.

    Comme g est non nul, son image n'est pas réduit à 0, donc n'est pas réduit à 0, ce qui signifie qu'il existe un vecteur non nul de tel que , donc est valeur propre de .

    Donc toute valeur propre de est valeur propre de .

    L'endomorphisme de et l'endomorphisme de ont les mêmes valeurs propres.