On considère l'application T définie par :

On peut tout d'abord remarquer que le composé de deux endomorphismes d'un espace vectoriel est encore un endomorphisme de , ce qui justifie à postériori le texte (l'image de est bien contenue dans ).

Soit et deux endomorphismes de et et deux scalaires.

Alors .

Comme est linéaire, on peut écrire ,

donc .

Ce qui prouve que l'application de dans lui-même est linéaire.