1. Les valeurs propres d'un endomorphisme sont les racines de son polynôme minimal. Comme , on en déduit que l'endomorphisme de et l'endomorphisme de ont les mêmes valeurs propres.

Un endomorphisme non nul de est un vecteur propre de associé à la valeur propre si et seulement si .

Or on a les équivalences suivantes :

.

Donc un endomorphisme non nul de est un vecteur propre de associé à si et seulement si l'inclusion est vérifiée.

2. Soit l'application identique de .

Le sous-espace propre de associé à est , sous-espace vectoriel de contenant le vecteur nul et les vecteurs propres de associés à .

Dans la question 3.a on a vu qu'un endomorphisme non nul de est un vecteur propre de associé à si et seulement si l'inclusion est vérifiée.

Donc le sous-espace propre de associé à est l'ensemble des endomorphismes de vérifiant , et peut être identifié à l'espace vectoriel des applications linéaires de dans .

Or, si et sont des espaces vectoriels sur le corps , de dimensions finies, la dimension de est égale au produit . On en déduit :

Donc la dimension du sous-espace propre de associé à est égale au produit de la dimension de par la dimension du sous-espace propre de associé à .