On sait qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé et a toutes ses racines simples.

Puisque l'endomorphisme de et l'endomorphisme de ont le même polynôme minimal, on en conclut que est diagonalisable si et seulement si est diagonalisable.

On suppose dans la suite que est diagonalisable. Donc est lui aussi diagonalisable.

Un autre résultat de la théorie de la diagonalisation est le suivant :

Lorsqu'un endomorphisme d'un espace vectoriel est diagonalisable, la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre est égale à l'ordre de multiplicité de cette valeur propre en tant que racine du polynôme caractéristique.

Donc si on note les valeurs propres distinctes de (et donc de ), et le polynôme caractéristique de ( celui de ) on a les relations :

Or dans la question 3.b, on a montré que pour chaque valeur propre

].

On en déduit :

(On retrouve le résultat connu ).

On en conclut que les polynômes caractéristiques de et de vérifient la relation (lorsque et sont diagonalisables) :