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Matrice d'un cycle d'un espace vectoriel réel de dimension 3

Enoncé global

Soit un espace vectoriel de dimension 3 sur et une application linéaire de dans lui-même. On suppose qu'il existe vecteurs notés engendrant et tels que .

Question n°1
  1. Montrer que est supérieur ou égal à 3.

  2. Montrer que les endomorphismes sont linéairement indépendants.

Question n°2

Montrer l'égalité .

Question n°3

Montrer que dans une base convenable la matrice de est de la forme , où , et sont des nombres réels.

Question n°4

Montrer que le polynôme divise .

Question n°5

Montrer que admet une unique valeur propre .

Montrer que cette valeur propre est de multiplicité algébrique 1.

Quelle est la dimension du sous-espace propre correspondant ?

L'application est-elle diagonalisable ?

Question n°6
  1. On suppose le déterminant de strictement positif, ( ).

    Quelle est la valeur de ?

  2. On suppose le déterminant de strictement négatif, ( ).

    Quelle est la valeur de ? Montrer que est pair.

Question n°7

Soit l'argument de l'une des racines complexes de .

  1. Montrer que .

  2. Montrer qu'il existe un vecteur non nul de tel que .

Question n°8

Soit le vecteur introduit dans la question 7.b.

Montrer que et sont linéairement indépendants.

Question n°9

En déduire qu'il existe une base de dans laquelle la matrice de est égale à , avec ou .

Légende :
Apprendre
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S'exercer
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