Les racines complexes de étant aussi des racines de , sont de module égal à 1. Donc, avec les notations précédentes, on a et n'est pas un multiple de puisque n'est pas un nombre réel. En particulier cela implique que est différent de 1 et de -1.

  1. Par conséquent .

    Et donc car car .

  2. Le polynôme n'est pas un polynôme annulateur de car il est de degré strictement inférieur à celui du polynôme minimal de . Donc il existe un élément de tel que .

    Alors, en posant , est non nul et tel que et donc .